本篇主要内容如下：

• 数组下标为何从 0 开始？

• 来自大神的论证：为何编号应从零开始？

• 戴克斯特拉的论证手迹

数组下标为何从 0 开始？

• 假设你在实现一个哈希表，要把每个整数键映射到 n 个桶中的某一个。如果桶数组是从 0 开始索引的，你只需写 bucket = key % n；但如果从 1 开始，就得写成 bucket = (key % n) + 1。
• 假设你要把一个宽为 w、高为 h 的矩形像素阵列序列化到一个文件（可以看作长度为 w×h 的一维数组）。使用 0 起始索引时，坐标 (x, y) 对应的位置就是 y * w + x；而如果用 1 起始索引，公式就变成 y * w + x - w，明显更复杂。
• 再比如，你想把字母 ‘A’ 到 ‘Z’ 存入一个长度为 26 的数组，并且有一个函数 ord() 能返回字符的 ASCII 码。用 0 起始索引时，字符 c 的位置就是 ord(c) - ord('A')；若用 1 起始索引，则必须写成 ord(c) - ord('A') + 1。

事实上，从 1 开始计数才是一种历史的“意外”：人类语言早在发明“零”这个概念之前，就需要用“第一”、“第二”这样的序数词了。这种习惯延续下来，反而给现代技术带来了一些混乱。一个典型的例子就是：人们常误以为 1800 年代属于“18 世纪”，但实际上，19 世纪指的是从 1801 年 1 月 1 日到 1900 年 12 月 31 日这段时间——这正是“从 1 开始计数”造成的认知偏差。

来自大神的论证：为何编号应从零开始？

编程考古：艾兹赫尔·W·戴克斯特拉（Edsger W. Dijkstra）：才华横溢、个性鲜明且坚持主见

若想表示自然数序列 2, 3, …, 12（避免使用那令人讨厌的三个点“…”），我们有以下四种区间表示方式可选：

a)   2≤i<13
b)   1<i≤12
c)   2≤i≤12
d)   1<i<13

这些表示法之间有没有优劣之分？答案是肯定的。

首先可以注意到，选项 a) 和 b) 有一个优点：上下界之差正好等于子序列的长度。由此还可推出：在这些约定下，两个相邻子序列的边界恰好相接——前一个的上界等于后一个的下界。这些观察固然正确，却仍不足以让我们在 a) 与 b) 之间做出选择。因此，我们不妨换个角度重新思考。

自然数中存在一个最小值（即 0 或 1，取决于定义；此处按现代数学惯例，自然数包含 0）。如果采用 排除下界 的方式（如 b) 和 d) 所示），那么当我们要表示“从最小自然数开始”的子序列时，所写出的下界就会落入“非自然数”的范围——这显然很别扭。因此，下界应采用“≤”形式，即倾向于 a) 或 c)。

再考虑上界：当我们处理一个从最小自然数开始、但长度逐渐缩短直至为空的序列时，若坚持包含上界（如 c) 所示），那么空序列的上界将被迫取一个“不存在”的值（比如 -1），这同样不自然。因此，上界应采用“<”形式，即倾向于 a) 或 d)。

综合以上两点，唯一同时满足“下界包含、上界排除”的选项是 a)。因此，a) 是最合理的选择。

附注：施乐帕洛阿尔托研究中心（Xerox PARC）开发的编程语言 Mesa，曾为上述四种区间表示法都提供了专门语法。然而大量实践经验表明，除 a) 外的其他三种用法常常导致代码笨拙且容易出错。正因如此，Mesa 程序员如今被强烈建议不要使用其余三种特性。我之所以提及这一实践证据（尽管其权威性有限），是因为有些人对未经实际验证的理论结论总感不安。

接下来的问题是：对于一个长度为   NN   的序列，我们该如何为其元素分配下标？

若遵循上述最优的区间约定（即 a)），那么：

• 若从下标 1 开始，则下标范围为   1≤i<N+1  ；
• 若从下标 0 开始，则下标范围为   0≤i<N   —— 形式更简洁、对称且自然。

因此，我们应当让序号从 0 开始：一个元素的序号（下标）就等于它前面有多少个元素。这个看似微小的选择，实则蕴含深刻意义——它提醒我们：经过几个世纪之后，是时候真正把“零”视为一个最自然的数了。

附注：许多编程语言在设计时并未充分重视这一细节。例如，FORTRAN  的数组下标永远从 1 开始；ALGOL 60 和 Pascal 采用了上述 c) 的闭区间约定；而较晚出现的 SASL 语言竟又回归  FORTRAN 的做法，将序列定义为“正整数上的函数”。实在令人惋惜！

本文的写作缘起于最近发生的一件事：一位数学系同事（非计算机科学家）情绪激动地指责几位年轻的计算机学者“过于咬文嚼字”，只因他们习惯性地从  0 开始编号。在他看来，这种刻意采用最合理约定的做法竟成了一种挑衅。（顺便一提，连我在文中使用的“End of  Remark”这类标记也被视为挑衅；但这类约定其实很有用——我曾听说有学生因为默认题目只印在第一页底部，结果差点考试不及格。）

对此，我想引用安东尼·杰伊（Antony Jay）的一句话作为结语：  

“在体制化的信仰中，正如在其他宗教里一样，异端者必须被驱逐，并非因为他很可能错了，而是因为他有可能是对的。”

Plataanstraat 5
5671 AL NUENEN, 荷兰
1982 年 8 月 11 日
艾兹赫尔·W·戴克斯特拉（Edsger W. Dijkstra）教授
Burroughs 公司研究员

阅读原文：原文链接